České vysoké učení technické

Fakulta stavební

obor geodézie a kartografie

Místopřísežně prohlašuji, že jsem samostatně vypracoval celou diplomovou práci včetně všech příloh.

V Praze dne 6.12. 2000

Radek Hampl

V prvé řadě bych velmi rád poděkoval doc. Dr. Ing. Leoši Mervartovi, PhD. za trpělivost, se kterou přistupoval ke konzultacím, které se týkaly řešení některých problémů vzniklých při zpracovávání daného tématu diplomové práce. Další nemalý dík patří Prof. Ing. Janu Kosteleckému, DrSc. za pomoc při otázkách týkajících se použitých časových systémů. A v neposlední řadě pak děkuji doc. Ing. Aleši Čepkovi, CSc. za poskytnuté rady stran programovacího jazyka C++.

Interpolace drah družic GPS je velmi důležitou součástí určení jejich predikované polohy, to jest souřadnic v geocentrickém terestrickém souřadném systému. Dnešní metody jsou založeny na složitých modelech drah družic, což je spojeno s velmi složitými výpočetními operacemi. Tyto výpočty se provádí v několika analytických centrech na světě a výslednými predikovanými souřadnicemi jsou pak vážené průměry těchto několika řešení.

Cílem této diplomové práce, která byla psána za podpory výzkumného záměru MSM:210000007, je zamyslet se nad jednoduššími metodami interpolace drah družic a posoudit jejich použitelnost v praxi. Dále poukázat na problematiku numerických výpočtů při interpolaci v daných veličinách (terestrických souřadnicích resp. Keplerových dráhových elementech) a v závěru nastínit lepší postupy řešení tohoto problému, než jakých jsem použil v předkládané práci.

Diplomová práce se tedy bude týkat jednak interpolace v terestrických souřadnicích družic GPS a jednak interpolace jejich Keplerových dráhových elementů.

Původní ideou bylo, že praktickou použitelnost mnou realizovaných metod doložím srovnáním oficiálních predikovaných souřadnic, mnou spočtených souřadnic družic GPS a jejich finálních hodnot. Nicméně výsledky výpočetních prací mě přivedly na myšlenku nepočítat z Keplerových dráhových elemenů zpět terestrické souřadnice družice a tedy neprovádět výše zmíněné srovnání. Důvod bude zřejmý z níže uvedených výsledků výpočtů. Pro úplnost jsou v příloze uvedena srovnání oficiálně predikovaných souřadnic družic GPS s jejich finálními hodnotami.

Zde bych rád napsal několik málo řádek o budování systému GPS NAVSTAR. To začalo v roce 1973 a bylo koncipováno jako obranný navigační sytém Spojených Států Amerických. Vedením tohoto projektu bylo pověřeno U.S. Air Force (Letectvo Spojených Států). Dále s touto institucí spolupracovalo U.S. Army Navy (Vojenské námořnictvo Spojených Států) a DMA (Defense Mapping Agency). O pět let později, v roce 1978, se k tomuto projektu připojilo i dalších devět členských států NATO (North Atlantic Treaty Organization).

Požadavky na vybudování takového navigačního systému byly, aby bylo možno v reálném čase kdykoliv a kdekoliv zjistit přesné určení polohy (řádově do 10 m) libovolného počtu i rychle se pohybujících objektů.

Systém GPS-NAVSTAR (Global Positioning System – NAVigation System using Time And Ranging) tvoří tři části: řídící, kosmická a uživatelská.

Řídící část tvoří sledovací stanice (obr. č.:1) rozmístěné po celé Zemi a hlavní řídící stanice (Colorado Springs), jež zpracovává telemetrické informace a výsledky sledování pohybu družic z ostatních sledovacích stanic a přes jejich vysílače tyto informace předává jednotlivým družicím spolu s povely pro řízení provozního režimu a korekcemi drah.

Kosmickou část tvoří nominálně 24 družic rovnoměrně rozmístěných na šesti oběžných drahách (obr. č.:2). Dráhy družic mají sklon 55^o a jsou téměř kruhové. Výška družic nad povrchem Země je 20 183 km a jejich oběžná doba činí 11 hod 58 min, tedy 12 hvězdných hodin. Družice (obr. č.:3) mají hmotnost 845 kg a přibližné rozměry jsou 2,0 x 1,0 x 1,5 metrů. Životnost družic je počítána na 7,5 roku provozu. Palubní baterie jsou dobíjeny slunečními články o ploše 7,15 m². Do družic se původně zabudovávaly rubidiové oscilátory, které jsou dnes nahrazovány oscilátory vodíkovými či cesiovými. Tyto oscilátory mají za úkol udržovat velmi přesné časové a kmitočtové informace.

A nakonec uživatelský segment. Ten je tvořen přijímači signálů GPS pomocí antén a registračních zařízení. Signál GPS tvoří řada koherentních kmitočtů, které jsou odvozeny ze základní frekvence f₀ = 10,23 MHz. Ta je ale kvůli kompenzaci průměrného relativistického efektu snížena o 4,45 x 10^-10 f₀. Tento základní kmitočet je udržován oscilátory na družicích s relativní přesností lepší než 10^-13.

Pro interpolaci dat, kterou jsem v této práci prováděl, bylo nutné nejprve určit frekvence (resp. periody) a amplitudy harmonických průběhů hodnot ať už reprezentovaných terestrickými souřadnicemi nebo přímo Keplerovými dráhovými elementy. V některých případech tyto hodnoty (amplitudy a periody) lze vyčíst přímo z vynesených dat, nicméně tato transformace představuje mnohem přesnější nástroj jak se těchto hodnot dopátrat.

Analýzu výchozích dat jsem prováděl v systému Matlab 4.0, který tuto transformaci po výpočetní stránce zajišťoval. Zde bych chtěl jenom nastínit Fourierovu analýzu po teoretické stránce.

Mějme tedy definovanou funkci g(x), která splňuje podmínku absolutní integrovatelnosti:

a vyhovuje i ostatním Dirichletovým podmínkám. Tuto funkci chceme rozvinout do řady Fourierových funkcí:

což je systém funkcí, který je na intervalu <-p,p> ortogonální a tvoří bázi. Funkci g(x) tedy můžeme rozepsat do Fourierovy řady:

přičemž koeficienty a_k a b_k mají tvar:

a říká se jim Fourierovy koeficienty. Ty vypočteme na základě MNČ minimalizací výrazu:

v němž funkce g_N(x) má tvar:

Za použití Eulerových vzorců pro přechod ke komplexním číslům se rozvoj funkce g(x) ještě zjednoduší. Tyto vzorce mají tvar:

a původní báze se změní na bázi komplexních čísel:

1, e^ix, e^-ix, e^2ix, e^-2ix, …

Potom funkci g(x) můžeme psát ve tvaru:

Koeficienty c_k mají pak tvar:

nebo jinak:

Až do této chvíle jsme se pohybovali pouze v intervalu <-p,p >. Nyní tento interval rozšíříme. A to substitucí proměnou tÎ <-N,N>. A dále:

a po derivaci

Změní se také Fourierovy koeficienty, které nabudou tvaru:

a rozvoj funkce g(x) bude vypadat takto:

Logický požadavek je, aby se N à ¥. Proto zavedeme tuto symboliku:

a dále

Tím rozvoj funkce g(x) přejde na tvar:

a pakliže vyjdeme z našeho požadavku aby N à ¥, musí Df à0 a dále sumační znak přejde na integrál a f_k přejde na f. Tedy:

přičemž [r,u] jsou polární souřadnice družice v rovině její dráhy. Úhel u je úhel měřený od polární osy o (směřuje do výstupního uzlu b dráhy družice) ve směru pohybu družice.

Vzhledem k posledním dvěma uvedeným vztahům je tedy hamiltonián H roven:

A vzhledem k tomu, že výraz v hranaté závorce je vlastně výrazem pro rychlost družice, můžeme psát:

a potom se bude hamiltonián H rovnat výrazu:

Posledním integrálem, který je třeba spočítat je vektorový integrál Laplaceův. Ten je definován vektorovým vztahem:

a rozepsán ve složkách má tvar:

A nyní můžeme přejít rovnou na výpočet Keplerových dráhových elementů. Z vektorového integrálu ploch dostáváme hned několik výrazů pro výpočet rektascenze výstupního uzlu W a sklonu i:

Excentricitu můžeme spočítat podle vzorce:

Velká poloosa je dána vztahem:

   nebo také   

Pravou anomálii můžeme spočítat dle vzorce:

Posledním Keplerovým dráhovým elementem je argument perigea. Ten určíme na základě skalárního součinu Laplaceova vektoru a vektoru uzlové přímky (cos W; sin W; 0):

Vzhledem k tomu, že dráhy družic GPS jsou téměř kruhové, bude výhodnější interpolovat argument deklinace u=w + n než samostatně argument perigea a pravou anomálii. Argument deklinace je dán vztahem:

Další úprava pro výpočty spočívá v tom, že nebudeme interpolovat hlavní poloosu dráhy družic (a tedy i jejich excentricitu), ale přímo průvodič družic:

přičemž excentrickou anomálii E spočteme ze vztahu:

Vzhledem k časovému průběhu souřadnic (viz. obr. č.: 11a, 11b a 11c) jsem se rozhodl nepoužít polynomickou funkci, ale interpolaci pomocí Fourierovy harmonické řady. Ta je popsána v kapitole [1.2].

Z grafů (obr. č.: 11a, 11b) je patrné, že časová závislost dat, v tomto případě souřadnice X a Y, je součtem dvou periodicky se opakujících funkcí. Dále můžeme odhadnout periody obou funkcí (P_h je hlavní perioda a P_v je vedlejší perioda) a hlavní amplitudu. Vedlejší amplituda se z těchto grafů odhaduje velmi spatně. Číselné hodnoty těchto veličin jsou uvedeny v kapitole pojednávající o praktickém řešení jednotlivých problémů. Tyto hodnoty nejsou pouze odhadem, ale jsou podpořeny i analýzou pomocí Fourierovy transformace.

Avšak z informací, které nyní máme, můžeme sestavit interpolační funkci (pro interpolaci v souřadnicích X,Y), která by se co nejlépe přimykala danému časovému průběhu dat. Je to funkce:

kde neznámé jsou: a jako hlavní perioda, A je hlavní fázový posun, b je vedlejší perioda a konečně B je vedlejší fázový posun. Dále, jak je popsáno v kapitole [1.2], jsou t⁽¹⁾ a t⁽²⁾ (čísla v závorkách nejsou mocniny, ale indexy odlišující od sebe obě proměnné) nové proměnné, které dostaneme z původních proměnných x takto:

   a   

Využijeme nyní součtový vzorec pro součet argumentů ve funkci sinus a dále zavedeme substituci:

   ,   

Potom bude konečný tvar interpolační funkce tento:

Je zřejmé, že funkce pro interpolaci v souřadnicích Z (obr. č.: 11c) bude jednodušší. Bude obsahovat pouze první člen Fourierovy harmonické řady. Její odvození zde ale uvádět nebudu, neboť je naprosto analogické s výše odvozenou funkcí pro souřadnice X a Y, s omezením na jeden člen řady. Konečný tvar tedy bude:

kde

Interpolační funkce dráhových elementů jsou součtem dvou dílčích funkcí. Jsou to funkce polynomické (v některých případech i konstantní), které vystihují trend dráhových elementů po dobu, kterou zabírají analyzovaná data (jeden GPS týden), a pak jsou to funkce harmonické, které vystihují harmonický časový průběh dráhových elementů samotných.

V některých případech je použita funkce polynomická pro vystižení týdenního trendu, ale ve skutečnosti, vezmeme-li v potaz data většího časového úseku než jeden týden, přejde tento trend na funkci harmonickou, jejíž perioda je mnohem větší než právě jeden týden. A dlouhodobý časový vývoj dráhových elementů by pak měl ještě další průběhy.

Konečné podoby interpolačních funkcí uvedené v této kapitole jsou výsledkem několikadenních pokusů o co nejlepší vystižení průběhu časové závislosti dráhových elementů za použití analýzy pomocí Fourierovy transformace. V kapitole [1.9] a v jejích podkapitolách budu uvádět konečné tvary interpolačních funkcí, které budou komentovány na základě grafů časových průběhů jednotlivých dráhových elementů. Komentáře založené na analýze pomocí Fourierovy transformace budou uvedeny dále v textu v kapitole [2.3], která se týká praktických výpočtů a mezivýsledků. Tam také budou uvedeny číselné hodnoty period a amplitud jednotlivých harmonických průběhů.

Ještě je třeba podotknout, že pro praktickou část této práce, tedy pro výpočty, jsem si náhodným výběrem zvolil družici PRN1. Nicméně vše co je v této práci uvedeno platí i pro všechny ostatní družice GPS. Výpočty byly prováděny ještě pro některé další družice. Výsledky výpočtů ale nemohu uvádět a to z toho důvodu, že by tato práce nabyla ohromných rozměrů.

Z grafu časového průběhu W (obr. č.: 12) je zřejmé, že interpolační funkce bude mít tvar součtu funkce lineární a harmonické. Dále je vidět, a Fourierova transformace to potvrdila, že zde figuruje pouze jedna harmonická funkce (s periodou P a že tedy ve výsledné interpolační funkci bude jen jeden harmonický člen.

Interpolační funkce tedy bude vypadat takto:

Pomocí součtového vzorce pro součet argumentů funkce sinus a substituce:

a po příslušných úpravách dostáváme konečnou podobu interpolační funkce:

přičemž t bude rovno výrazu:

Jak je vidět z týdenních dat (obr. č.:13) má sklon dráhy družice průběh harmonický. Funkce, která by se nejlépe přiblížila tomuto průběhu by vypadala jako součet dvou harmonických funkcí o různých periodách. Nicméně hlavní perioda tohoto časového průběhu je delší než jeden týden a proto funkce, kterou jsem nakonec zvolil jako interpolační je součtem kubické polynomické funkce a harmonické funkce (s periodou P) s jedním harmonickým členem. Konečný tvar interpolační funkce tedy je:

Součtovým vzorcem pro součet argumentů funkce sinus a zavedením substituce:

získáme finální podobu funkce:

přičemž t bude opět rovno výrazu:

Již z grafu časového průběhu velikosti průvodiče dráhy družice (obr. č.:14) je vidět, že interpolační funkce bude velmi jednoduchá. Trend tohoto časového průběhu průvodiče je konstantní. Je zřejmé, že v harmonickém průběhu figuruje pouze jedna frekvence s periodou P_h a amplitudou b.

Výsledná podoba interpolační funkce tedy je:

kde b je zmiňovaná hlavní amplituda, B je patřičný fázový posun a t je nová proměnná získaná transformací:

Za využití již výše několikrát zmíněného součtového vzorce a substituce:

dostaneme po jednoduchých úpravách interpolační funkci ve tvaru:

Z grafu (obr. č.:15) je patrné, že argument deklinace je veličinou (stejně jako průvodič), která vykazuje největší změny své velikosti v čase. A nejen největší ale také nejostřejší. Závislosti, kterou můžeme pozorovat ve výše zmíněném grafu, nejlépe tvarově vyhovuje pilovitá funkce, která je dána součtem řady:

z níž pro náš účel bohatě postačí první tři členy této řady. Koeficient a vyjadřuje konstantní trend časové závislosti, koeficient b je pak její amplituda a B má význam fázového posunu. Proměnná t je pak opět nová proměnná vzniklá transformací, která má tvar:

Následují analogické substituce a analogické úpravy jako v předcházejících podkapitolách kapitoly [1.9], po nichž získáme konečnou podobu interpolační funkce:

V této kapitole popíši postupy výpočtů, uvedu dílčí i konečné výsledky a okomentuji časové závislosti na základě analýzy dat pomocí Fourierovy transformace. Závěr a komentáře výsledků pak budou uvedeny v kapitole [3].

Dále zde budou uvedeny ukázky datových souborů se souřadnicemi družic a souřadnicemi pólu a jinými důležitými parametry vstupujícími do výpočtů. Popíši zde také způsob, kterým jsem získal data potřebná pro výpočetní práce.

Pro úplnost bych chtěl podotknout, že, kromě Fourierových transformací (ty jsem počítal v programu Matlab 4.0), jsem vše počítal na software, který jsem si sám naprogramoval v jazyce C++ za použití vývojového prostředí C++ Builder v3.0. Zdrojové kódy, programové soubory (*.exe) a další dokumenty týkající se této práce jsou přiloženy na CD. Popis programů je v příloze č.:3.

Datové soubory, které obsahují potřebné informace jsem získal pomocí Internetu a služby FTP (File Transfer Protocol) a to z vládního serveru organizace NASA (National Aeronautic and Space Administration – Národní správa pro letectví a kosmický prostor) v USA. Adresa serveru je: cddis.gsfc.nasa.gov a adresář, kde se data nacházejí je: gps3:[products]/”week”, kde “week” je číslo týdne (například: 0899), který nás zajímá.

V těchto adresářích se tedy dají najít jak soubory s predikovanými, tak i s finálními souřadnicemi družic a také predikované a finální souřadnice pravého pólu v soustavě CIO (viz. kapitola [1.5.4]).

Soubory s predikovanými souřadnicemi družic se jmenují IGPxxxxy.sp3 a soubory s finálními souřadnicemi družic se jmenují IGSxxxxy.sp3 a dále soubor s finálními souřadnicemi pravého pólu má jméno IGSxxxx7.erp a soubory s predikovanými souřadnicemi pravého pólu se jmenují IGPxxxxy.erp. Písmena v názvech souborů mají tento význam:

xxxx  - číslo GPS týdne (například 0899)

y  - číslo dne v týdnu od 0=neděle až do 6=sobota

Každý ze souborů má svou “hlavičku” a strukturované “tělo”. Příklad “hlavičky” souboru souřadnic družic je následující:

Údaje které byly pro mne důležité a které lze vyčíst z této “hlavičky” jsou:

datum:   30.3.1997

souřadný systém: ITRF94, zpracováno HLM IGS

čas:    .00000 sekunda týdne 899 (neděle)

Dalšími údaji jsou počet zpracovávaných družic (25), jejich PRN (Pseudo Random Nubers - pseudonáhodná čísla), MJD týkající se půlnoci daného dne, tedy 30.3.1997 0^h 0^m 0^s.

Tělo souboru se souřadnicemi družic má pevně stanovenou strukturu. Ta je velmi dobře patrná z ukázky:

Jsou zde uvedeny PRN jednotlivých družic pro daný okamžik (30.3.1997, 0^h 0^m 0^s = 50537.0000 MJD), který je uveden v prvním řádku každého bloku a je označen “*”, dále blok obsahuje souřadnice družic, které jsou seřazeny dle PRN a korekci jejich hodin v mikrosekundách. Bloky jsou seřazeny v časové souslednosti vždy po 15 minutách.

Datový soubor s finálními souřadnicemi pravého pólu a korekcí (UT1-UTC) má tuto strukturu:

Informace, které byly pro řešení daných problémů potřebné jsou: MJD a pro něj uváděné souřadnice pólu v soustavě CIO a korekce hodin (UT1-UTC). Z dalších informací obsažených v tomto souboru uvedu například rozdíl aktuální délky dne a 24 hodin v sekundách, charakteristiky přesnosti souřadnic pólu, rozdílu (UT1-UTC), délky dne (LOD).

V kapitole [1.8] jsem se odvolával na Fourierovu transformaci jako na nástroj mnohem přesnějšího určení frekvencí, period a amplitud harmonických časových průběhů dat. Fourierovy transformace tedy pro jednotlivé terestrické souřadnice vypadají takto:

Informace, které z těchto grafů (a z grafů na obr. č.:11a, 11b, 11c) můžeme vyčíst je možné sestavit do tabulky:

Hodnoty v tabulce a odečtené přibližné fázové posuny z grafů na obr. č.:11a, 11b, 11c byly použity pro výpočet přibližných koeficientů aproximačních funkcí, které jsou uvedeny v kapitole [1.8].

Z grafů Fourierových transformací jednotlivých souřadnic družic je dále vidět to, že dochází k velmi ostrým změnám hodnot souřadnic. To je patrné z toho, že píky ostatní signál (na časový průběh souřadnic se můžeme dívat jako na určitý signál) výrazně převyšují. Přechody mezi píky a ostatním signálem jsou velmi ostré a úzké. To znamená, že časový průběh souřadnic není zatížen náhodnými rušivými vlivy, tzv. šumem, a je tedy z pohledu signálu poměrně čistý.

Matice plánu byla sestavena z parciálních derivací interpolačních funkcí dle jednotlivých neznámých, tedy koeficientů interpolačních funkcí. Vektor neznámých pak tvoří jednotlivé koeficienty těchto funkcí (viz. aplikace kapitoly [1.2]). Výsledné vektory neznámých parametrů interpolačních funkcí a odhady jejich středních chyb jsou sestaveny v tabulkách č.:2a, 2b, 2c.

Z hodnot v tabulkách 2a, 2b a 2c jsem dále vypočítal původní koeficienty interpolačních funkcí pomocí umocnění a sečtení resp. podělení substitučních výrazů, které jsou popsány v kapitole [1.8]. Číselné hodnoty koeficientů jsou přehledně uspořádány do tabulek:

K analýze Keplerových dráhových elementů opět použiji Fourierovu transformaci. Na základě interpretace grafů této transformace a grafů časových průběhů jednotlivých dráhových elementů určíme přibližné hodnoty jednotlivých koeficientů interpolačních funkcí a kromě toho nám též pomůže zjistit teoretickou použitelnost této metody pro určení predikovaných souřadnic družic na základě určení interpolačních funkcí Keplerových dráhových elementů a jejich koeficientů.

Kapitola je rozdělena do jednotlivých podkapitol, v nichž jsou popsány grafy Fourierových analýz Keplerových dráhových elementů. Dále jsou v podkapitolách uvedeny frekvence, periody a amplitudy Keplerových dráhových elementů. V poslední podkapitole jsou pak uvedeny tabulky s výslednými hodnotami koeficientů jednotlivých interpolačních funkcí a jejich středními chybami.

Graf Fourierovy transformace časového průběhu rektascenze výstupního uzlu dráhy družice má tuto podobu:

Z tohoto grafu a z grafu na obr. č.:12 je možné vyčíst tyto důležité informace:

Vzhledem k tomu, že píky nad ostatním pozadím signálu (opět se na časový průběh Keplerových dráhových elementů můžeme dívat jako na jistý signál a danou periodou, frekvencí a amplitudou) nejsou příliš převýšeny, můžeme konstatovat, že časová změna hodnot rektascenze výstupního uzlu dráhy družice nenabývá závratných velikostí. Dále je možné říci, že časový průběh této veličiny není zatížen šumem a je tedy poměrně čistý. To je patrné z toho, že přechody do píků jsou ostré.

Rád bych ještě okomentoval tu skutečnost, že Fourierova transformace odhalila ještě jednu frekvenci, jejíž perioda je vzhledem k týdennímu časovému intervalu dat dlouhodobá. Jedná se s největší pravděpodobností a kombinaci jevů, které mají periodu cca. 14 a 28 dní a amplitudu v součtu okolo 9”. Tyto jevy se ale v mých výpočtech neuplatní, neboť mají na rektascenzi výstupního uzlu v horizontu jednoho týdne nepatrný vliv.

Na obrázku č:13 můžeme vidět časový průběh sklonu dráhy družice, jehož graf Fourierovy transformace vypadá takto:

Opět nejprve uvedu tabulku (tab. č.:4) s hodnotami frekvencí, period a amplitud jevů, které odhalila Fourierova analýza a graf časového průběhu sklonu dráhy družice:

Fourierova transformace odhalila i zde jev, který má frekvenci 1 (má delší periodu než týden). Tento jev jsem již popsal v kapitole [1.9.2] a je to právě ten trend, který jsem nahradil kubickým polynomem. Vzhledem k týdennímu časovému horizontu dat je tento trend dlouhodobější. Nicméně s ním bylo nutno počítat, protože jeho amplituda má velikost 9” (perioda činí 14 dní).

Ani v tomto případě píky podstatně nepřevyšují ostatní pozadí signálu. To znamená, že amplituda harmonického průběhu hodnot této veličiny nebude velká a že nebude docházet k dramatickým změnám hodnot této veličiny v čase. Nicméně je vidět, že průběh sklonu dráhy družice v čase je mírně zatížen náhodnými rušivými vlivy, tzv. šumem, protože přechod mezi píkem a pozadím signálu je poměrně pozvolný.

Fourierova transformace této veličiny je znázorněna na následujícím grafu:

Na základě této Fourierovy transformace a za pomoci obrázku č.:14 jsem stanovil tyto hodnoty frekvence, periody a amplitudy časového průběhu průvodiče:

Z grafu Fourierovy transformace lze vyčíst periodický průběh s periodou 48 měření (po 15 minutách) a amplitudou 99,408 km. Dále z grafu Fourierovy transformace můžeme usoudit na to, že dochází k velkým změnám hodnot této veličiny v čase, protože pík velmi převyšuje pozadí signálu. Dále přechod mezi píkem a pozadím signálu není ostrý, ale poměrně pozvolný. Můžeme tedy říci, že časový průběh hodnot této veličiny je mírně zatížen šumem.

Graf Fourierovy transformace je vyobrazen na obrázku:

Z grafu Fourierovy transformace argumentu deklinace je na první pohled zřejmé, že zde dochází k velmi rychlým a velkým změnám hodnot této veličiny v čase, protože zde píky dosahují značných hodnot. Dále vidíme, že přechod mezi píkem a zbylým pozadím není ostrý a proto můžeme konstatovat, že hladký průběh bude mírně zatížen šumem. Tento šum ovšem nedosahuje takových hodnot, aby velkou měrou ovlivňoval výsledky interpolace této veličiny. Je zde evidentní jedna frekvence o hodnotě 14, jejíž amplituda mnohonásobně převyšuje ostatní píky, které jsou mimo jiné také důkazem přítomnosti šumu, o kterém jsem se zmínil výše v tomto odstavci a jímž je zatíženo pozadí signálu.

Hodnoty, které jsem vyčetl jak z Fourierovy transformace tak i z grafu časového průběhu pravé anomálie jsou uvedeny v následující tabulce:

V této kapitole budou uvedeny a přehledně do tabulek vepsány výsledky výpočtů koeficientů interpolačních funkcí, které jsou popsány v kapitole [1.9]. Pro stanovení přibližných hodnot těchto koeficientů jsem použil nejen hodnoty uvedené v kapitole [2.3], ale také odhady fázových posunů jednotlivých časových závislostí. Tyto posuny jsou velmi dobře patrné z grafů časových závislostí (obrázky č.:12-15) a proto jsem je do tabulek neuváděl. Tam kde tyto posuny patrné přímo nebyly, byl jsem odkázán pouze na jejich odhad. Nicméně do výpočtu přibližných koeficientů jsou tyto posuny zahrnuty.

Výsledky, ke kterým jsem při výpočtech došel tedy jsou:

Dále jsem spočetl původní koeficienty v interpolačních funkcích z nichž jsem vycházel v kapitolách [1.9.1] až [1.9.4] a to umocněním a sečtením, popřípadě podělením, jednotlivých substitučních výrazů. Výsledné hodnoty koeficientů s odhady jejich středních chyb jsou sestaveny v následujících tabulkách:

Veškeré číselné hodnoty výpočtů koeficientů interpolačních funkcí jsou uvedeny v příslušných tabulkách v kapitolách [2.2] a [2.3.5]. V této kapitole bych rád okomentoval praktickou použitelnost těchto dvou metod, kterými jsem se v diplomové práci zabýval.

Výsledky výpočtů uvedené v kapitole [2.2] ukazují přímo střední chyby s jakými by byly určeny souřadnice družice PRN1 z vypočítaných vyrovnaných koeficientů interpolačních funkcí. Jejich velikosti jsou:

Pro zjištění odhadů středních chyb souřadnic družice PRN1 interpolovaných na základě Keplerových dráhových elementů je třeba malého zamyšlení. Transformace Keplerových dráhových elementů na kartézské souřadnice v systému ICRS je dána těmito vzorci:

Podívejme se jak budou vypadat parciální derivace souřadnice x (u ostatních souřadnic jde o analogii a proto se budu v těchto rozborech zabývat pouze souřadnicí x) podle jednotlivých veličin:

Podle zákona hromadění středních chyb platí:

Podívejme se, jakým dílem, z celkové střední chyby souřadnice x, přispěje, při zanedbání středních chyb všech ostatních veličin, střední chyba argumentu deklinace. Zaveďme několik předpokladů. Hodnoty rektascenze výstupního uzlu dráhy a sklonu dráhy družice můžeme pro účely našeho odhadu brát jako konstanty. Jedinou proměnnou veličinou je pro nás argument deklinace. V závislosti na jeho hodnotě závorka v parciální derivaci dosahuje v druhé mocnině hodnoty až 0,908. Dále pro účely tohoto odhadu postačí vzít jako velikost průvodiče hodnotu r = 26560 km. Odhad střední chyby argumentu deklinace je m_u = 0,00748 rad. A při maximální velkosti závorky ve výrazu parciální derivace je hodnota, kterou přispívá střední chyba argumentu deklinace k celkové velikosti střední chyby souřadnice x, rovna 189,3 km. Vlivy středních chyb ostatních veličin jsou i o několik řádů menší.Shrnu-li tyto výsledky, musím konstatovat, že střední chyby souřadnic družic určené jak na základě interpolace v terestrických souřadnicích tak i na základě interpolace v Keplerových dráhových elementech jsou velmi velké.

Pro porovnání původních dat s interpolovanými jsem použil jako demonstračního příkladu argumentu deklinace (obr. č.: 16), ale podobně by vypadaly i grafy srovnání ostatních Keplerových dráhových elementů a terestrických souřadnic.

Pro výpočet vyrovnaných koeficientů interpolačních funkcí jsem použil statistický soubor dat z celého týdne, tedy všech 660 časových okamžiků (proč ne 672 je vysvětleno v kapitole [1.6]). Interpolované hodnoty spočtené na základě takto vyrovnaných koeficientů interpolačních funkcí mají tu vlastnost, že se na okrajích takového statistického souboru velmi odchylují od jejich původních hodnot. Naproti tomu s původními hodnotami velmi dobře korespondují uprostřed tohoto statistického souboru (viz. obr. č.: 16). To znamená, že pro výpočet koeficientů interpolačních funkcí není vhodné použít všechna data z celého GPS týdne najednou.

Mnohem přesnějších výsledků bychom pravděpodobně dosáhli použitím menšího statistického souboru dat, tzv. výběrového statistického souboru dat, který by zahrnoval kratší časové období. Tento výběrový soubor dat by obsahoval lichý počet členů (určení jejich počtu by záviselo na dalších výpočtech) a koeficienty interpolačních funkcí spočtené na základě takového souboru bychom přiřadili k prostřednímu bodu tohoto výběrového souboru. Výpočet bychom například provedli postupně pro všechna data jednoho GPS týdne a získali bychom tabelované hodnoty koeficientů interpolačních funkcí pro každý časový okamžik daného GPS týdne. Úloha by tedy přešla na interpolaci v koeficientech interpolačních funkcí. V těchto koeficientech by bylo patrně snazší interpolovat a následně je pak extrapolovat v čase a na základě extrapolovaných koeficientů bychom stanovili mnohem přesnější extrapolované terestrické souřadnice, respektive Keplerovy dráhové elementy.

Ještě lepších výsledků bychom patrně dosáhli použitím metody kolokace nejmenších čtverců. Jedná se o metodu, kdy hledáme korelační vztahy mezi jednotlivými hodnotami statistického souboru a na jejich základě pak stanovíme jistou váhovou matici, kterou zapojíme do výpočtů vyrovnání. Protože se tato metoda zabývá pouze signálem, bylo by nejprve nutné odfiltrovat pozadí časových závislostí, tj. trendy. Potom by tato metoda měla dávat ještě lepší výsledky než postup, který jsem naznačil v předchozím odstavci.

ARG1
0., 0., 0., 0., 1., -171996., -174.2, 92025., 8.9,
0., 0., 0., 0., 2., 2062. , .2 , -895. , .5 ,
-2., 0., 2., 0., 1., 46. , .0 , -24. , .0 ,
0., 0., 2.,-2., 2., -13187. ,-1.6 , 5736. ,-3.1,
0., 1., 0., 0., 0., 1426. ,-3.4 , 54. ,-0.1,
0., 1., 2.,-2., 2., -517. , 1.2 , 224. ,-0.6,
0.,-1., 2.,-2., 2., 217. ,-0.5 , -95. , 0.3,
0., 0., 2.,-2., 1., 129. , 0.1 , -70. , 0.0,
2., 0., 0.,-2., 0., 48. , 0.0 , 1. , 0.0,
0., 2., 0., 0., 0., 17. ,-0.1 , 0. , 0.0,
0., 2., 2.,-2., 2., -16. , 0.1 , 7. , 0.0,
0., 0., 2., 0., 2., -2274. ,-0.2 , 977. ,-0.5,
1., 0., 0., 0., 0., 712. , 0.1 , -7. , 0.0,
0., 0., 2., 0., 1., -386. ,-0.4 , 200. , 0.0,
1., 0., 2., 0., 2., -301. , 0.0 , 129. ,-0.1,
1., 0., 0.,-2., 0., -158. , 0.0 , -1. , 0.0,
-1., 0., 2., 0., 2., 123. , 0.0 , -53. , 0.0,
0., 0., 0., 2., 0., 63. , 0.0 , -2. , 0.0,
1., 0., 0., 0., 1., 63. , 0.1 , -33. , 0.0,
-1., 0., 0., 0., 1., -58. ,-0.1 , 32. , 0.0,
-1., 0., 2., 2., 2., -59. , 0.0 , 26. , 0.0,
1., 0., 2., 0., 1., -51. , 0.0 , 27. , 0.0

ARG2
2., 0.,-2., 0., 0., 11. , 0. ,
-2., 0., 2., 0., 2., -3. , 1. ,
1.,-1., 0.,-1., 0., -3. , 0. ,
0.,-2., 2.,-2., 1., -2. , 1. ,
2., 0.,-2., 0., 1., 1. , 0. ,
0., 0., 2.,-2., 0., -22. , 0. ,
0., 1., 0., 0., 1., -15. , 9. ,
0.,-1., 0., 0., 1., -12. , 6. ,
-2., 0., 0., 2., 1., -6. , 3. ,
0.,-1., 2.,-2., 1., -5. , 3. ,
2., 0., 0.,-2., 1., 4. , -2. ,
0., 1., 2.,-2., 1., 4. , -2. ,
1., 0., 0.,-1., 0., -4. , 0. ,
2., 1., 0.,-2., 0., 1. , 0. ,
0., 0.,-2., 2., 1., 1. , 0. ,
0., 1.,-2., 2., 0., -1. , 0. ,
0., 1., 0., 0., 2., 1. , 0. ,
-1., 0., 0., 1., 1., 1. , 0. ,
0., 1., 2.,-2., 0., -1. , 0. ,
0., 0., 2., 2., 2., -38. , 16. ,
2., 0., 0., 0., 0., 29. , -1. ,
1., 0., 2.,-2., 2., 29. , -12. ,
2., 0., 2., 0., 2., -31. , 13. ,
0., 0., 2., 0., 0., 26. , -1. ,
-1., 0., 2., 0., 1., 21. , -10. ,
-1., 0., 0., 2., 1., 16. , -8. ,
1., 0., 0.,-2., 1., -13. , 7. ,
-1., 0., 2., 2., 1., -10. , 5. ,
1., 1., 0.,-2., 0., -7. , 0. ,
0., 1., 2., 0., 2., 7. , -3. ,
0.,-1., 2., 0., 2., -7. , 3. ,
1., 0., 2., 2., 2., -8. , 3. ,
1., 0., 0., 2., 0., 6. , 0. ,
2., 0., 2.,-2., 2., 6. , -3. ,
0., 0., 0., 2., 1., -6. , 3. ,
0., 0., 2., 2., 1., -7. , 3. ,
1., 0., 2.,-2., 1., 6. , -3. ,
0., 0., 0.,-2., 1., -5. , 3. ,
1.,-1., 0., 0., 0., 5. , 0. ,
2., 0., 2., 0., 1., -5. , 3. ,
0., 1., 0.,-2., 0., -4. , 0. ,
1., 0.,-2., 0., 0., 4. , 0. ,
0., 0., 0., 1., 0., -4. , 0. ,
1., 1., 0., 0., 0., -3. , 0. ,
1., 0., 2., 0., 0., 3. , 0. ,
1.,-1., 2., 0., 2., -3. , 1. ,
-1.,-1., 2., 2., 2., -3. , 1. ,
-2., 0., 0., 0., 1., -2. , 1. ,
3., 0., 2., 0., 2., -3. , 1. ,
0.,-1., 2., 2., 2., -3. , 1. ,
1., 1., 2., 0., 2., 2. , -1. ,
-1., 0., 2.,-2., 1., -2. , 1. ,
2., 0., 0., 0., 1., 2. , -1. ,
1., 0., 0., 0., 2., -2. , 1. ,
3., 0., 0., 0., 0., 2. , 0. ,
0., 0., 2., 1., 2., 2. , -1. ,
-1., 0., 0., 0., 2., 1. , -1. ,
1., 0., 0.,-4., 0., -1. , 0. ,
-2., 0., 2., 2., 2., 1. , -1. ,
-1., 0., 2., 4., 2., -2. , 1. ,
2., 0., 0.,-4., 0., -1. , 0. ,
1., 1., 2.,-2., 2., 1. , -1. ,
1., 0., 2., 2., 1., -1. , 1. ,
-2., 0., 2., 4., 2., -1. , 1. ,
-1., 0., 4., 0., 2., 1. , 0. ,
1.,-1., 0.,-2., 0., 1. , 0. ,
2., 0., 2.,-2., 1., 1. , -1. ,
2., 0., 2., 2., 2., -1. , 0. ,
1., 0., 0., 2., 1., -1. , 0. ,
0., 0., 4.,-2., 2., 1. , 0. ,
3., 0., 2.,-2., 2., 1. , 0. ,
1., 0., 2.,-2., 0., -1. , 0. ,
0., 1., 2., 0., 1., 1. , 0. ,
-1.,-1., 0., 2., 1., 1. , 0. ,
0., 0.,-2., 0., 1., -1. , 0. ,
0., 0., 2.,-1., 2., -1. , 0. ,
0., 1., 0., 2., 0., -1. , 0. ,
1., 0.,-2.,-2., 0., -1. , 0. ,
0.,-1., 2., 0., 1., -1. , 0. ,
1., 1., 0.,-2., 1., -1. , 0. ,
1., 0.,-2., 2., 0., -1. , 0. ,
2., 0., 0., 2., 0., 1. , 0. ,
0., 0., 2., 4., 2., -1. , 0. ,
0., 1., 0., 1., 0., 1. , 0.

hlavní řídící stanice:
   Colorado Springs (USA)

pozemní řídící stanice:
   Ascension Island (jižní Atlantik)
   Diego Garcia (Čagoské ostrovy, Indický oceán)
   Kwajalwin (Marshallovo souostroví, Tichý oceán)

monitorovací stanice:
   Hawai (Tichý oceán)
   Ascension Island (jižní Atlantik)
   Diego Garcia (Čagoské ostrovy, Indický oceán)
   Kwajalein (Marshallovo souostroví, Tichý oceán)
   Colorado Springs (USA)

V této příloze popíši oba programy, které jsem pro výpočetní zajištění této práce napsal. Kapitola je rozdělena do dvou podkapitol. Každá z nich je věnována jednomu ze dvou programů.

Nyní bych chtěl napsat několik řádek obecně o programech jako o jednom celku. Oba jsou psány v jazyce C++. Jak již bylo výše v práci řečeno, při psaní programů jsem použil interaktivní objektově orientované prostředí C++ Builder 3.0. Oba programy jsou psány jako aplikace pod systémy WIN95, WIN98 a WIN NT. Vstupními formáty souborů jsou soubory SP3 pro vstup terestrických souřadnic družic a ERP pro vstup souřadnic pólu a korekce (UT1-UTC).

Některé výpočetní bloky byly převzaty ze zdrojových textů publikovaných Astronomickým institutem univerzity v Bernu (Astronomical institute, University of Bern). Nicméně jsem tyto bloky musel převést z jazyka FORTRAN do jazyka C++. To obnášelo alespoň základní znalosti syntaxe tohoto programovacího jazyka. Na tyto bloky bude upozorněno dále v textu.

Celkový objem zdrojových kódů obnáší 4726 programových řádek. Jsou to poměrně rozsáhlé programy a proto není možné v této práci jako přílohu uvést jejich vytištěné zdrojové texty. Tyto texty budou na přiloženém CD, které bude obsahovat i ostatní části této diplomní práce v digitální podobě. Obsah přiloženého CD je uveden v příloze č.:4. Stejně tak nemá příliš opodstatnění uvést popis jednotlivých funkcí, metod a procedur, protože jich je mnoho a pak také jsem programy psal tak, že je z názvů jednotlivých procedur, metod a funkcí patrné k jakému účelu slouží. V této příloze budou tedy uvedeny jen některé zajímavé funkce a metody, které nezaberou tolik místa. A nyní již k jednotlivým programům.

Tento program řeší výpočet Keplerových dráhových elementů a jejich následnou interpolaci dle vzorců uvedených v kapitole [1.9]. Po spuštění se otevře vlastní okno programu (obr. č.:17). U horního okraje je menu s položkami, jejichž funkci vysvětlím níže. Pod tímto menu je komunikační okno, pomocí něhož pak program při výpočtu signalizuje jeho stav. Pod tímto oknem je další okno, které má název “Asociované soubory:”. Do tohoto okna se vypisují soubory, které byly určeny jako vstupní. Pod tímto oknem jsou tři stavové řádky. První ukazuje stav právě probíhajících výpočtů. Druhý ukazuje číslo družice pro kterou se právě výpočet provádí a dále délku ukončeného výpočtu. Poslední stavová řádka ukazuje aktuální adresář.

Nyní bych rád uvedl příklad převzatého výpočetního bloku, který jsem přepsal z jazyka FORTRAN do jazyka C++. Jedná se výpočet nutační matice. Tedy původní zdrojový text v jazyce FORTRAN má tento formát:

Za řádkem "C DATA" následuje seznam argumentů pro výpočet lineární kombinace Delauneyových proměnných. Tento seznam jsem z ukázky odebral, neboť osahuje jen samá čísla a byl několik stánek dlouhý. Seznam těchto argumentů je uveden v příloze č.:1.

A mnou napsaný zdrojový text, který řeší stejnou problematiku, tedy počítá nutační matici, je následující:

Program InterXYZ řeší po výpočetní stránce problematiku interpolace v terestrických souřadnicích družic. Jeho ovládání je podobné jako u programu InterKPL, ale je jednodušší. Po spuštění se objeví opět samostatné okno tohoto programu. Toto okno je až na název totožné s oknem programu InterKPL.

Asociace, změna adresáře, ukládání protokolů, deasociace souborů a nastavení počtu dnů vzatých do výpočtů je naprosto stejné jako u programu InterKPL. Změnilo se jen zadávání přibližných koeficientů a nastavení PRN počítané družice. Dále odpadlo nastavení souboru se souřadnicemi pólu a korekcí (UT1-UTC).

Při výpočtech postupujeme stejně jako v kapitole [5.3.1] až na malé rozdíly, které jsou: zadání přibližných koeficientů interpolačních funkcí (viz. kapitola [1.8]) je zde v menu [Soubory à Přibližné koeficienty], nebo je možné vyvolat pomocí klávesové zkratky CTRL+P. Podobně jako u programu IterKPL, jsou i zde přednastaveny přibližné hodnoty těchto koeficientů pro družici PRN1 a GPS týden 899. Zadání čísla družice je v menu [Soubory à Číslo družice], nebo pomocí klávesové zkratky CTRL+C.

Viz. hlavni dokument DP. Děkuji za pochopení.