Strany a vnitřní úhly mnohoúhelníku
Zpět ||
Zpět na hlavní stránku
Zadání:
Nejmenší vnitřní úhel mnohoúhelníku je 117°, největší 171°. Velikosti úhlů tvoří aritmetickou posloupnost.
Kolik má mnohoúhelník stran a jak velké má vnitřní úhly?
Řešení:
a1 = 117°
an = 171°
n = ? ; ai = ?; i = {2, 3, ..., n-1}
Víme, že se jedná o konvexní n-úhelník. Pro konvexní n-úhelníky obecně platí:
Sa = 180° . (n - 2)
Dále víme, že se součet aritmetické posloupnosti rovná:
sn = 0,5 . n . (a1 + an)
A tedy v našem případě Sa = sn.
Porovnáme-li tyto výrazy, dostáváme rovnici o jedné neznámé, totiž n:
180° . (n - 2) = 0,5 . n . (a1 + an)
Z této rovnice tedy:
n = 720° / (360° - a1 - an)
n = 10
A protože musíme ještě určit člyny této posloupnosti, je třeba spočítat diferenci d.
Víme, že:
an = a1 + (n - 1).d
A tedy, že:
d = (an - a1) / (n - 1)
d = 6
A máme výsledek:
n = 10; d = 6
{a1, a2, ..., a10} = {117°, 123°, 129°, 135°, 141°, 147°, 153°, 159°, 165°, 171°}
|| Seznam || AltaVista || Yahoo ||