Kupujete si v bývalých zemích sovětského svazu (pro lepší představivost v Rusku) nový svetr, který stojí 19 rublů (ano, jsme z levného kraje), ale máte u sebe pouze třírublové bankovky a pokladník má pouze pětirublové bankovky. Je za těchto podmínek možné nákup uskutečnit? A jestliže ano, jak?
Řešení:
V úloze jsou dvě neznámé: x - počet třírublových bankovek
y - počet pětirublových bankovek.
Rovnici však máme jen jednu: 3x - 5y = 19
Ačkoliv má jedna rovnice o dvou neznámých nekonečně mnoho řešení, není předem jasné, zda mezi nimi existuje alespoň jedno řešení celočíselné, tj. řešení, ve kterém jsou x i y celá nezáporná čísla (uvědomte si, že x a y jsou počty bankovek).
Osamostatníme ten člen, kde je u neznámé koeficient s nejmenší absolutní hodnotou, tj. člen 3x; dostaneme:
3x = 19 + 5y
x = (19 + 5y)/3 = 6 + y + (1 + 2y)/3
Protože x, 6 a y jsou celá čísla, rovnost může nastat pouze tehdy, jestliže (1 + 2y)/3 je také celé číslo. Zavedeme proto substituci:
t = (1 + 2y)/3 => x = 6 + y + t [a]
Z toho plyne, že:
2y = 3t - 1
Z poslední rovnice vyjádříme y:
y = (3t - 1)/2 = t + (t - 1)/2
Protože y a t jsou celá čísla, musí i (t - 1)/2 být nějaké celé číslo. A zavedeme opět substituci:
q = (t - 1)/2 => y = t +q [b]
z toho plyne, že:
t = 2q + 1
Dosaďme hodnotu t = 2q + 1 do rovnic [a] a [b]:
y = t + q = 1 + 3q rovnice [c]
x = 6 + y+ t = 8 + 5q rovnice [d]
Tím jsme pro proměnné x a y našli výše uvedené výrazy. Navíc víme, že čísla x a y nejsou jenom celá, ale také nezáporná, tj. větší nebo rovna nule.
Proto musí platit:
8 + 5q ³ 0
1 + 3q ³ 0
A odtud konečně:
q ³ - 8/5
q ³ - 1/3
To jsou omezení pro hodnotu q. Ta je větší nebo rovna - 1/3 (a tím spíše větší než - 8/5).
Protože q je celé číslo, může to být pouze jedna z hodnot:
q = 0, 1, 2, 3, 4, ...
Odpovídající hodnoty x a y z rovnic [c] a [d] pak jsou:
x = 8, 13, 18, 23, …
y = 1, 4, 7, 10, ...
Nyní jsme nalezli způsob, jak koupi uskutečnit:
Buď platíme 8 třírublovými bankovkami a zpět dostaneme 1 pětirublovou bankovku (8 . 3 - 5 = 19), nebo platíme 13 třírublovými bankovkami a zpět dostaneme 4 pětirublové bankovky (13 . 3 - 4 . 5 = 19) atd.
Teoreticky má úloha nekonečně mnoho řešení, ale prakticky je počet řešení omezen, protože ani kupující, ani pokladník nemá u sebe nekonečný počet bankovek. Například má-li každý 10 bankovek, je možno zaplatit jen jedním způsobem: Kupující dá 8 třírublových bankovek a zpět dostane 1 pětirublovou bankovku. Vidíme, že i "neurčité" rovnice mohou dávat v praxi jednoznačné řešení.