Trajektorie bodu v analytice (1)

Zpět || Zpět na hlavní stránku

Zadání:
Napiště rovnici křivky, po které se pohybuje bod M = [x; y] ležící dvakrát dále od osy x než od přímky vyjádřené rovnicí p: x = -3.

Řešení:
Nejprve se musíme na příkladem zamyslet. Říkají nám, že máme napsat rovnici křivky, po které se pohybuje bod M. A máme daný poměr vzdáleností tohoto bodu od osy x a od dané přímky p.

Vzhledem k tomu, že onen poměr je nějaké číslo (v našem případě číslo 2) a kolmé vzdálenosti mají být měřeny od přímek (osa x je jistě přímkou, stejně tak jako zadaná přímka p), bude naše křivka, jejíž rovnici máme napsat, také přímkou. Označme ji q.

Poznámka:
Přímka je křivka s nulovou křivostí K. Křivost K vyjadřuje zlomek K = 1/R, kde hodnota R je hodnota poloměru křivosti dané křivky. U kružnice je to například přímo její poloměr. Budeme-li poloměr kružnice dále zvětšovat, bude se nám hodnota křivosti K zmenšovat (viz. vzorec v druhé větě poznámky). Tak dospějeme do situace, kdy bude hodnota poloměru křivosti R naší kružnice nekonečně velká R = Ą a proto bude hodnota křivosti rovna nule: K = 1/R = 1/Ą = 0. Tak nám kružnice degraduje na přímku. Přímka se obecně definuje jako křivka, která má v každém svém bodě křivost rovnu nule.

Takže už víme, že onou křivkou popisující trajektorii bodu M bude přímka. Teď je třeba si situaci řádně nakreslit:


Při kreslení obrázku musíme uvažovat takto. Přímka p má od osy y konstatní vzdálenost rovnu 3. Bod M přitom musí mít vzdálenost od osy x rovnu dvojnásobku vzdálenosti od přímky p. Všechny body na ose y mají od přímky p vzdálenost 3. Takže hledáme nyní bod na ose y takový, jehož vzdálenost od osy x bude rovna dvojnásbku vzdálenosti od přímkly p, tedy takový, jehož vzdálenost od osy x bude rovna 6. Takovým bodem je bod o souřadnicích [0; 6].

Tak jsme našli první bod přímky q, která vyjadřuje definovanou trajektorii bodu M. A teď potřebujeme najít druhý bod přímky q. Podívejme se nyní na průsečík přímky p s osou x.

Tento bod leží přímo na zadané přímce p a zároveň na ose x. Otázka nyní je, zda platí, že tento bod je dvakrát dále od osy x než od přímky p. Od přímky p má vzdálenost rovnu nule. Od osy x má rovněž vzdálenost rovnu nule. A 2*0 = 0, takže i takový bod je dvakrát dále od osy x než od přímky p. Máme tedy dva body, které leží na naší hledané přímce q.

V tuto chvíli jsme schopni odvodit rovnici trajektorie bodu M. Oba známé body označíme P, Q. Sestrojíme dále směrový vektor PQ přímky q:

PQ = sq = Q - P
sq = (XQ - XP; YQ - YP)
sq = (0 - (-3); 6 - 0) = (3; 6)


Známe bod na přímce q (jeden z bodů P a Q) a známe její směrový vektor. Nic nám nebrání sestavit parametrické vyjádření přímky q:

x = XQ + t*sq1
y = YQ + t*sq2

x = 0 + 3t = 3t
y = 6 + 6t

Z parametrického vyjádření trajektorie odvodíme její obecnou rovnici vyloučením parametru t. Úpravy budou následující:

x = 0 + 3t = 3t / *(-2)
y = 6 + 6t

-2x = -6t
y = 6 + 6t

Obě rovnice sečteme a dále upravíme:

y + (-2x) = 6 + 6t + (-6t)
y - 2x = 6
y = 2x + 6
y = 2(x + 3)

Výsledek je:
q: y = 2(x + 3)

Toto je směrnicové vyjádření rovnice trajekntorie bodu, který je vždy dvaktrát dále od osy x než od přímky p. Z obrázku je ale dobře patrné, že takové přímky existují dvě. My jsme zatím odvodily pouze jednu. A to tu, jejíž graf je rostoucí, tedy přímku q. Zbývá ještě odvodit rovnici přímky r. Můžeme postupovat úplně stejně i v případě odvození rovnice přímky r. My se ale trochu zamyslíme a přijdeme na to, že přímka r je vůči přímce q (jejíž rovnici již máme odvozenou) otočená o 90o. Takže rovnice zůstane stejná, jen se nám změní znaménko u směrnice:

q: y = 2(x + 3)
r: y = -2(x + 3)

Toto jsou tedy obě přímky, p a r, vyjadřující dráhu uvažovaného bodu M. Výsledek můžeme zapsat také ve tvaru:
y = ±2(x + 3)

|| Seznam || AltaVista || Yahoo ||